4影子价格

牧童 · 发表于 2008-1-17 17:00:11

4影子价格
什么是影子价格？如果某配方师要用A、B、C、...等原料设计某种饲料配方，这些原料的单位价格就叫做这种原料的市场价格。而某种原料的影子价格则是指：在得到最佳配方后,配方中某种原料用量增减一个单位，使饲料配方的成本增加或降低多少。例如棉粕有毒，在饲料配方中的用量一般要限制。假如棉粕到厂价格为 1.35元/kg，则不考虑贮存耗费时就可认为棉粕市场价格是1.35元/kg。如果在用线性规划法设计好的最佳配方的基础上,饲料配方中多使用一个单位的棉粕(当然就要相应地降低其它原料的用量)可使配方成本降低0.05元/kg，则这个0.05元/kg就是棉粕的影子价格。△ Y=影子价格*△B，式中 Y为目标函数，B为约束值。影子价格表示每单位约束值对目标函数的影响度。
数学家已经证明了，影子价格就是对偶规划的最优解。所以可借助对偶规划来计算各种原料的影子价格，从而为及时合理地设计和修订饲料配方提供科学依据。对偶线性规划问题不仅在解线性规划问题时为我们提供了一个避繁就简的实用方法，而且在经济学中有重要意义。所以在饲料配方设计中，配方师应十分重视影子价格。
为便于理解,我们通过实际例子来解释。
例1. 设计猪饲料配方,为了简单这里只考虑粗蛋白、钙和磷三种养分。可以考虑如下线性规划问题：
C＝1.2*X1＋2.6*X2＋1.7*X3 ＋0.8*X4
式中X1、X2、X3 、X4 分别表示玉米、豆粕、磷酸氢钙和食盐，系数是各种饲料原料的价格。

约束条件:

85*X1＋430*X2＋ 0*X3＋0*X4≥16.5

0.2*X1＋3.2*X2＋28*X3＋350*X4≥3.5
1.2*X1＋3.1*X2＋100*X3＋0*X4≥0.33
Xj≥0，j＝1，2，3，4
现在我们看如下线性规划问题：
max s ＝16.5*y1＋3.5*y2＋0.33*y3

85*y1＋0.2*y2＋1.2*y3 ≤1.2

430*y1＋3.2*y2＋3.1*y3≤2.6

0.0*y1＋280*y2＋100*y3≤1.7

0.0*y1＋350*y2＋0.0*y3≤0.8

yj≥0，j＝1，2，3。
比较上述两个线性规划问题,不难发现它们之间存在如下一些规律性的关系：
第一，两个线性规划问题中约束条件的系数之间的关系是行和列互换。原规划问题约束条件中每一行的系数,与新规划问题约束条件中每一列的系数相对应；原规划问题的约束条件中每一列的系数,与新规划问题的约束条件中每一行的系数相对应。
这用矩阵方式解释最清楚:两个线性规划问题中约束条件的系数矩阵互为转置矩阵。在原规划中，约束条件的系数矩阵为：
85  430  0.0  0.0
0.2 3.2  280  350
1.2 3.1  100  0.0
而在新线性规划问题中约束条件的系数矩阵为：
85  0.2  1.2
430 3.2  3.1
0.0 280  100
0.0 350  0.0

这两个矩阵的行和列正好互换。

第二，原规划问题中右手侧的常数，正好是新规划问题的目标函数中各自变量的系数；新规划问题中约束条件的右手侧常数，也正好是原规划问题的目标函数中自变量的系数。

第三，原规划问题中约束条件中的不等式符号如果是“≥”，那么新规划问题中约束条件中的不等式符号就是“≤”。

第四，如果原线性规划问题中的目标函数是求最小值，那么新线性规划问题中的目标函数就是求最大值。
第五,运筹学已证明，若原问题和新问题都可行，则两者均有最优解，且两者的最优解相同。就是说,原问题目标函数的最小值Min C0与新问题目标函数的最大值Maxg相等，MinC0＝Maxg。
由于两个线性规划具有上述关系，所以称它们互为对偶规划。这种对偶问题，表现为相互交叉的表里关系，如果一方得到解，就能推导出另一方解。
现在可把这两个相互对偶的线性规划问题表示如表1。在上面的讨论中，原规划问题的右边项b是饲养标准指标构成的向量，对偶规划问题最优解中的yi值是饲养标准向量b中各种养分资源的成本。这个反面变量的解yi叫做影子价格。yi的值就相当于对第 i种养分，当实现最大利润时的一种价格估计，是根据养分资源在生产中所做贡献而作的估价，所以把对偶规划中的决策变量Yi（i=1，2，３）叫做养分资源bi（i=1，2，3）的＂影子价格＂或＂机会成本＂。